题目内容
设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a＞0，b＞0，若f（x）≤|f（
）|对一切x∈R恒成立，则
①f（
）=0；
②|f（
）|＜|f（
）|；
③f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
④f（x）的单调递增区间是[kπ+
，kπ+
]（k∈Z）；
⑤存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交．
以上结论正确的是（ ）
| π |
| 6 |
①f（
| 11π |
| 12 |
②|f（
| 7π |
| 10 |
| π |
| 5 |
③f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
④f（x）的单调递增区间是[kπ+
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
⑤存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交．
以上结论正确的是（ ）
分析：先将f（x）=asin2x+bcos2x，a＞0，b＞0，变形为f（x）=
sin（2x+∅），再由f（x）≤|f（
）|对一切x∈R恒成立得a，b之间的关系，然后顺次判断命题真假．
| a2+b2 |
| π |
| 6 |
解答：解：①f（x）=asin2x+bcos2x=
sin（2x+∅），
由f（x）≤|f（
）|对一切x∈R恒成立得|f（
）|=
=|asin
+bcos
|=|
+
|，
即
=|
+
|，
两边平方整理得：a=
b．
∴f（x）=
bsin2x+bcos2x=2bsin（2x+
）．
①f（
）=2bsin（
+
）=0，故①正确；
②|f（
）|=|f（
）|=2bsin
，故②错误；
③f（-x）≠±f（x），故③正确；
④∵b＞0，由2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
（k∈Z）
得，kπ-
≤x≤kπ+
（k∈Z），即f（x）的单调递增区间是[kπ-
，kπ+
]（k∈Z），故④错误；
⑤∵a=
b＞0，要经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交，则此直线与x轴平行，又f（x）的振幅为2b＞
b，
∴直线必与函数f（x）的图象有交点，故⑤错误．
综上所述，结论正确的是①③．
故选B．
| a2+b2 |
由f（x）≤|f（
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| a2+b2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
| b |
| 2 |
即
| a2+b2 |
| ||
| 2 |
| b |
| 2 |
两边平方整理得：a=
| 3 |
∴f（x）=
| 3 |
| π |
| 6 |
①f（
| 11π |
| 12 |
| 11π |
| 6 |
| π |
| 6 |
②|f（
| 7π |
| 10 |
| π |
| 5 |
| 17π |
| 30 |
③f（-x）≠±f（x），故③正确；
④∵b＞0，由2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
得，kπ-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
⑤∵a=
| 3 |
| 3 |
∴直线必与函数f（x）的图象有交点，故⑤错误．
综上所述，结论正确的是①③．
故选B．
点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查复合三角函数的单调性，求得f（x）=2bsin（2x+
）是难点，也是关键，考查推理分析与运算能力，属于难题．
| π |
| 6 |
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