题目内容
1.如图,椭圆E:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)经过点A(0,1),且离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.(1)求椭圆E的方程;
(2)若M点为右准线上一点,B为左顶点,连接BM交椭圆于N,求$\frac{MN}{NB}$的取值范围;
(3)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P,Q(均异于点A)证明:直线AP与AQ的斜率之和为定值.
分析 (1)运用离心率公式和a,b,c的关系,解方程可得a,进而得到椭圆方程;
(2)设P点横坐标为x0,则$\frac{MN}{NB}$=$\frac{2-{x}_{0}}{{x}_{0}+\sqrt{2}}$=$\frac{2+\sqrt{2}}{{x}_{0}+\sqrt{2}}-1$,由-$\sqrt{2}$<x0≤$\sqrt{2}$,可得$\frac{MN}{NB}$的取值范围;
(3)由题意设直线PQ的方程为y=k(x-1)+1(k≠0),代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1,运用韦达定理和直线的斜率公式,化简计算即可得到结论.
解答 (1)解:由题意知$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,b=1,再由a2=b2+c2,解得$a=\sqrt{2}$,继而得椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$;
(2)解:由(1)知,椭圆右准线方程为x=2,
设M点横坐标为x0,则$\frac{MN}{NB}$=$\frac{2-{x}_{0}}{{x}_{0}+\sqrt{2}}$=$\frac{2+\sqrt{2}}{{x}_{0}+\sqrt{2}}-1$,
∵-$\sqrt{2}$<x0≤$\sqrt{2}$,∴$\frac{2+\sqrt{2}}{{x}_{0}+\sqrt{2}}-1∈[\frac{\sqrt{2}-1}{2},+∞)$.
∴$\frac{MN}{NB}$的取值范围是[$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$,+∞);
(3)证明:设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0由题设知,直线PQ的方程为y=k(x-1)+1(k≠0),
代入 $\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$,化简得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0,则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4k(k-1)}{1+2{k}^{2}},{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2k(k-2)}{1+2{k}^{2}}$,
由已知△>0,从而直线AP与AQ的斜率之和${k}_{AP}+{k}_{AQ}=\frac{{y}_{1}+1}{{x}_{1}}+\frac{{y}_{2}+1}{{x}_{2}}=2k+(2-k)\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=2k+(2-k)$\frac{4k(k-1)}{2k(k-2)}$=2k-2(k-1)=2.
即有直线AP与AQ斜率之和为2.
点评 本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率和方程的运用,联立直线方程,运用韦达定理求解.考查直线的斜率公式,属于中档题.
A. | {-1,0,1} | B. | {0,1} | C. | {1} | D. | {0} |
A. | (¬p)∨q | B. | p∧q | C. | (¬p)∧(¬q) | D. | (¬p)∨(¬q) |