Question

5．已知x，y是正数，且x+y=1，则x²+y²的取值范围是[$\frac{1}{2}$，1）．

Answer 1

分析 根据题意，求出x、y的取值范围，且利用x表示y，代入x²+y²中，
求出它在区间（0，1）上的取值范围即可．

解答 解：∵x＞0，y＞0，且x+y=1，
∴y=1-x＞0，
∴0＜x＜1；
∴t=x²+y²
=x²+（1-x）²
=2x²-2x+1
=2${（x-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{2}$≥$\frac{1}{2}$，
当且仅当x=$\frac{1}{2}$时取“=”；
又0＜x＜1，∴t＜1，
∴$\frac{1}{2}$≤t＜1；
即x²+y²的取值范围是[$\frac{1}{2}$，1）．
故答案为：[$\frac{1}{2}$，1）．

点评 本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了求函数的值域问题，是基础题目．