Question

1．如图所示，某企业拟建造一个体积为V的圆柱型的容器（不计厚度，长度单位：米）．已知圆柱两个底面部分每平方米建造费用为a千元，侧面部分每平方米建造费用为2a千元．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，设圆柱的底面半径为r，该容器的总建造费用为y千元．
（1）写出y关于r的函数表达式；
（2）求该容器总建造费用最小时r的值．

Answer 1

分析 （1）设出圆柱的高，求出圆柱的高，从而求出函数表达式；
（2）先求出函数的导数，得到函数的单调区间，进而求出r的最小值．

解答 解：（1）设圆柱的高为h，
∵V=πr²h，∴$h=\frac{V}{{π\;{r^2}}}$，
∴$y=a•2π\;{r^2}+2a•2π\;rh=2aπ\;{r^2}+\frac{4aV}{r}$（r＞0）．   
（2）$y'=4aπ\;r-\frac{4aV\;}{r^2}$，
令y′=0，得$r=\root{3}{{\frac{V}{π\;}}}$，

r	（0，$\root{3}{{\frac{V}{π\;}}}$）	$\root{3}{{\frac{V}{π\;}}}$	（$\root{3}{{\frac{V}{π\;}}}$Z，+∞）
y'	-	0	+
y	↘	极小值	↗

∴该容器总建造费用最小时$r=\root{3}{{\frac{V}{π\;}}}$．

点评 本题考查了圆柱的体积公式，考查求函数的解析式、函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．