[题目]如图所示.三棱锥S一ABC中.△ABC与△SBC都是边长为1的正三角形.二面角A﹣BC﹣S的大小为.若S.A.B.C四点都在球O的表面上.则球O的表面积为( )A.πB.πC.πD.3π 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】如图所示，三棱锥S一ABC中，△ABC与△SBC都是边长为1的正三角形，二面角A﹣BC﹣S的大小为，若S，A，B，C四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）

A.πB.πC.πD.3π

【答案】A

【解析】

取线段BC的中点D，连结AD，SD，由题意得AD⊥BC，SD⊥BC，∠ADS是二面角A﹣BC﹣S的平面角，∠ADS，由题意得BC⊥平面ADS，分别取AD，SD的三等分点E，F，在平面ADS内，过点E，F分别作直线垂直于AD，SD，两条直线的交点即球心O，连结OA，则球O半径R＝|OA|，由此能求出球O的表面积．

解：取线段BC的中点D，连结AD，SD，

由题意得AD⊥BC，SD⊥BC，

∴∠ADS是二面角A﹣BC﹣S的平面角，∴∠ADS，

由题意得BC⊥平面ADS，

分别取AD，SD的三等分点E，F，

在平面ADS内，过点E，F分别作直线垂直于AD，SD，

两条直线的交点即球心O，

连结OA，则球O半径R＝|OA|，

由题意知BD，AD，DE，AE，

连结OD，在Rt△ODE中，，OEDE，

∴OA2＝OE2+AE2，

∴球O的表面积为S＝4πR2．

故选：A．

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