题目内容

【题目】已知x,y∈R,m+n=7,f(x)=|x﹣1|﹣|x+1|.
(1)解不等式f(x)≥(m+n)x;
(2)设max{a,b}= ,求F=max{|x2﹣4y+m|,|y2﹣2x+n|}的最小值.

【答案】
(1)解:不等式f(x)≥(m+n)x等价于|x﹣1|﹣|x+1|﹣7x≥0,

当x≤﹣1时,不等式可化为2﹣7x≥0,解得x≤ ,又x≤﹣1,故x≤﹣1;

当x≥1时,不等式可化为﹣2﹣7x≥0,解得x≤﹣ ,舍去;

当﹣1<x<1时,不等式可化为﹣2x﹣7x≥0,解得x≤0,又﹣1<x<1,故﹣1<x≤0.

综上,不等式的解集为{x|x≤0}


(2)解:∵F=max{|x2﹣4y+m|,|y2﹣2x+n|},

∴F≥|x2﹣4y+m|,F≥|y2﹣2x+n|,

两式相加得:2F≥|x2﹣4y+m|+|y2﹣2x+n|≥|x2+y2﹣2x﹣4y+7|=|(x﹣1)2+(y﹣2)2+2|≥2,

∴F≥1.当且仅当x=1,y=2时取得等号.

即F的最小值为1.


【解析】(1)对x的范围进行讨论,去掉绝对值符号,转化为一元一次不等式解出;(2)将两式相加,利用绝对值不等式化简即可得出结论.

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