题目内容

已知点P(x0,y0)是椭圆C:
x2
5
+y2=1
上的一点.F1、F2是椭圆C的左右焦点.
(1)若∠F1PF2是钝角,求点P横坐标x0的取值范围;
(2)求代数式
y20
+2x0
的最大值.
(1)∵椭圆C:
x2
5
+y2=1

∴a2=5,b2=1,∴c=
5-1
=2

∴椭圆的焦点坐标为F1(-2,0),F2(2,0),
要使∠F1PF2=θ为钝角,满足cosθ<0即可,
在△F1PF2中,根据余弦定理得:
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|,
∵cosθ=
|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2
2|PF1|•|PF2|
<0,
只要|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2<0,
又根据椭圆的第二定义知:
|PF1|=e|x0+
a2
c
|,|PF2|=e|x0-
a2
c
|,|F1F2|=2c,
|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2<0,
[e|x0+
a2
c
|]2+[e|x0-
a2
c
|]2-(2c)2<0,
x02+
a4
c2
-
2c2
e2
<0

∵e=
c
a
,a=
5
,c=2,∴x02-
15
4
<0

-
15
2
x0
15
2

∴点P横坐标x0的取值范围{x0|-
15
2
x0
15
2
}.
(2)∵点P(x0,y0)是椭圆C:
x2
5
+y2=1
上的一点,
y02=1-
x02
5

y20
+2x0
=1-
x02
5
+2x0=-
1
5
(x0-5)2+6,
∵-
5
x0
5

y20
+2x0
在[-
5
5
]上是增函数,
∴当x0=
5
时,代数式
y20
+2x0
取最大值为1-
(
5
)2
5
+2
5
=2
5
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