题目内容
已知点P(x0,y0)是椭圆C:
+y2=1上的一点.F1、F2是椭圆C的左右焦点.
(1)若∠F1PF2是钝角,求点P横坐标x0的取值范围;
(2)求代数式
+2x0的最大值.
x2 |
5 |
(1)若∠F1PF2是钝角,求点P横坐标x0的取值范围;
(2)求代数式
y | 20 |
(1)∵椭圆C:
+y2=1,
∴a2=5,b2=1,∴c=
=2,
∴椭圆的焦点坐标为F1(-2,0),F2(2,0),
要使∠F1PF2=θ为钝角,满足cosθ<0即可,
在△F1PF2中,根据余弦定理得:
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|,
∵cosθ=
<0,
只要|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2<0,
又根据椭圆的第二定义知:
|PF1|=e|x0+
|,|PF2|=e|x0-
|,|F1F2|=2c,
∴|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2<0,
[e|x0+
|]2+[e|x0-
|]2-(2c)2<0,
∴x02+
-
<0,
∵e=
,a=
,c=2,∴x02-
<0,
∴-
<x0<
.
∴点P横坐标x0的取值范围{x0|-
<x0<
}.
(2)∵点P(x0,y0)是椭圆C:
+y2=1上的一点,
∴y02=1-
,
∴
+2x0=1-
+2x0=-
(x0-5)2+6,
∵-
≤x0≤
,
∴
+2x0在[-
,
]上是增函数,
∴当x0=
时,代数式
+2x0取最大值为1-
+2
=2
.
x2 |
5 |
∴a2=5,b2=1,∴c=
5-1 |
∴椭圆的焦点坐标为F1(-2,0),F2(2,0),
要使∠F1PF2=θ为钝角,满足cosθ<0即可,
在△F1PF2中,根据余弦定理得:
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|,
∵cosθ=
|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 |
2|PF1|•|PF2| |
只要|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2<0,
又根据椭圆的第二定义知:
|PF1|=e|x0+
a2 |
c |
a2 |
c |
∴|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2<0,
[e|x0+
a2 |
c |
a2 |
c |
∴x02+
a4 |
c2 |
2c2 |
e2 |
∵e=
c |
a |
5 |
15 |
4 |
∴-
| ||
2 |
| ||
2 |
∴点P横坐标x0的取值范围{x0|-
| ||
2 |
| ||
2 |
(2)∵点P(x0,y0)是椭圆C:
x2 |
5 |
∴y02=1-
x02 |
5 |
∴
y | 20 |
x02 |
5 |
1 |
5 |
∵-
5 |
5 |
∴
y | 20 |
5 |
5 |
∴当x0=
5 |
y | 20 |
(
| ||
5 |
5 |
5 |
练习册系列答案
相关题目