题目内容

设F1、F2为椭圆
x2
9
+
y2
4
=1的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，则
|PF1|
|PF2|
的值为______．
∵F1、F2为椭圆
x2
9
+
y2
4
=1的两个焦点，
∴a=3，b=2，c=
9-4
=
5
，
∴F1（-
5
，0），F2 （
5
，0）．
当PF2⊥x轴时，P的横坐标为
5
，其纵坐标为±
4
3
，
∴
|PF1|
|PF2|
=
2a-
4
3
4
3
=
6-
4
3
4
3
=
7
2
．
当PF1⊥PF2 时，设|PF2|=m，
则|PF1|=2a-m=6-m，3＞m＞0，由勾股定理可得
4c2=m2+（6-m）2，即 20=2 m2-12 m+36，解得 m=2 或 m=4（舍去），
∴
|PF1|
|PF2|
=
6-2
2
=2．
综上，
|PF1|
|PF2|
的值为
7
2
或2．
练习册系列答案
相关题目
已知点P(-1，
3
2
)是椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一点，F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设A、B是椭圆E上两个动点，是否存在λ，满足
PA
+
PB
=λ
PO
（0＜λ＜4，且λ≠2），且M（2，1）到AB的距离为
5
？若存在，求λ值；若不存在，说明理由．
斜率为2的直线l与双曲线
x2
3
-
y2
2
=1交于A，B两点，且|AB|=4，求直线l的方程．
如图，已知焦点在x轴上的椭圆
x2
20
+
y2
b2
=1(b＞0)经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于A，B两不同的点．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）求实数m的取值范围；
（3）是否存在实数m，使△ABM为直角三角形，若存在，求出m的值，若不存，请说明理由．
如图所示，设点F坐标为（1，0），点P在y轴上运动，点M在x轴运动上，其中
PM
•
PF
=0，若动点N满足条件
PN
=
MP

（Ⅰ）求动点N的轨迹E的方程；
（Ⅱ）过点F（1，0）的直线l和l′分别与曲线E交于A、B两点和C、D两点，若l⊥l′，试求四边形ACBD的面积的最小值．
已知抛物线C的方程为x2=4y，直线y=2与抛物线C相交于M，N两点，点A，B在抛物线C上．
（Ⅰ）若∠BMN=∠AMN，求证：直线AB的斜率为
2
；
（Ⅱ）若直线AB的斜率为
2
，求证点N到直线MA，MB的距离相等．
设P（x0，y0）是抛物线y2=2px（p＞0）上异于顶点的定点，A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，且直线PA与PB的倾斜角互补
（1）求
y1+y2
y0
的值
（2）证明直线AB的斜率是非零常数．
点P（4，4），圆C：（x-1）2+y2=5与椭圆E：
x2
18
+
y2
2
=1有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆左、右焦点，直线PF1与圆C相切．设Q为椭圆E上的一个动点，求
AP
•
AQ
的取值范围．
已知A、B是椭圆
x2
4
+
y2
3
=1的左、右顶点，椭圆上异于A、B的两点C、D和x轴上一点P，满足
AP
=
1
3
AD
+
2
3
AC
．
（1）设△ADP、△ACP、△BCP、△BDP的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：S1S3=S2S4；
（2）设P点的横坐标为x0，求x0的取值范围．

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