题目内容
【题目】如图，已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，
，
是
轴的正半轴上一点，
交椭圆于
，且
，
的内切圆
半径为1.
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）若直线
和圆
相切，且与椭圆交于
、
两点，求
的值.
【答案】（1）
（2）
或
【解析】
（1）利用内切圆的性质可知
，
，利用勾股定理构造方程可求得
，结合椭圆定义和
关系可求得
，由此得到椭圆方程；
（2）利用
与直线
相切可求得
，将直线方程代入椭圆方程，可利用弦长公式求得
；利用直线
与相切可求得
，代入中即可得到结果.
（1）设
的内切圆切、
、
于点
、
、
，
，
，
由
，且
，有
，则，，
由
得：
，解得：
，
故
，即
，
，
故所求的椭圆标准方程为：.
（2）由（1）知：
，
直线方程为
，
设点
，其到直线的距离为
，有
，
解得：
或
（舍），即，故圆
的方程为
，
设
，
，
由
得：
，
则
，
，
，
，
而
与相切，有
，解得：
或
，
故
或
.
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