题目内容
【题目】在极坐标系中，已知点
到直线
的距离为3.
（1）求实数
的值；
（2）设
是直线
上的动点，
在线段
上，且满足
，求点轨迹方程，并指出轨迹是什么图形.
【答案】（1）
；（2）
，点
的轨迹是以
为圆心，
为半径的圆（除去原点）
【解析】
（1）把
化成直角坐标方程为
，再根据点到直线的距离公式即可算出
.
（2）首先根据由直线
极坐标方程
，设
，找出
两点之间的关系，把点代入直线方程即可.
（1）以极点为原点，极轴为
轴的正半轴，建立直角坐标系，则点
的直角坐标为
，直线的直角坐标方程为，
由点到直线的距离为
.
（2）由（1）得直线的方程为，
设，则
，①
因为点
在直线上，所以
，②
将①代入②，得
.
则点的轨迹方程为
，
化为直角坐标方程为，
则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆（除去原点）
【题目】“难度系数”反映试题的难易程度，难度系数越大，题目得分率越高，难度也就越小．“难度系数”的计算公式为
，其中，
为难度系数，
为样本平均失分，
为试卷总分（一般为100分或150分）．某校高三年级的李老师命制了某专题共5套测试卷（每套总分150分），用于对该校高三年级480名学生进行每周测试．测试前根据自己对学生的了解，预估了每套试卷的难度系数，如下表所示：
试卷序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
考前预估难度系数 | 0.7 | 0.64 | 0.6 | 0.6 | 0.55 |
测试后，随机抽取了50名学生的数据进行统计，结果如下：
试卷序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
实测平均分 | 102 | 99 | 93 | 93 | 87 |
（1）根据试卷2的难度系数估计这480名学生第2套试卷的平均分；
（2）从抽样的50名学生的5套试卷中随机抽取2套试卷，记这2套试卷中平均分超过96分的套数为
，求的分布列和数学期望；
（3）试卷的预估难度系数和实测难度系数之间会有偏差．设
为第
套试卷的实测难度系数，并定义统计量
，若
，则认为本专题的5套试卷测试的难度系数预估合理，否则认为不合理．试检验本专题的5套试卷对难度系数的预估是否合理．
【题目】下表是某原料在市场上从2013年至2019年这7年中每年的平均价格（单位：千元/吨）数据：
年份 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
年份代号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
平均价格 （单位：千元/吨） |
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（
和
线性相关性较强，求出以为解释变量为预报变量的线性回归方程（系数精确到
）；
（2）以（1）的结论为依据，预测2032年该原料价格.预估该原料价格在哪一年突破1万元/吨？
参考数据：
，
，
，
参考公式：回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
.
