题目内容
【题目】某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试，每位同学彼此独立的从
四所高校中选2所.
（Ⅰ）求甲、乙、丙三名同学都选
高校的概率；
（Ⅱ）若已知甲同学特别喜欢
高校，他必选校，另在
三校中再随机选1所；而同学乙和丙对四所高校没有偏爱，因此他们每人在四所高校中随机选2所.
（ⅰ）求甲同学选高校且乙、丙都未选高校的概率；
（ⅱ）记
为甲、乙、丙三名同学中选校的人数，求随机变量的分布列及数学期望.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）（ⅰ）
（ⅱ）分布列见解析，期望为
.
【解析】
（Ⅰ）先根据古典概型概率求甲同学选
高校的概率，同理可得乙、丙同学选高校的概率，最后根据独立事件概率乘法公式得结果，（Ⅱ）（ⅰ）先根据古典概型概率求甲同学选高校的概率以及乙、丙未选高校的概率，最后根据独立事件概率乘法公式得结果，（ⅱ）先确定随机变量的取法，再分别求对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式得结果.
（Ⅰ）甲从
四所高校中选2所，共有AB,AC,AD,BC,BD,CD六种方法，
甲同学都选高校，共有AD,BD,CD三种方法，甲同学选高校的概率为
，
因此乙、丙同学选高校的概率皆为
，
因为每位同学彼此独立，所以甲、乙、丙三名同学都选高校的概率为
（Ⅱ）（ⅰ）甲同学必选
校且选高校的概率为
，乙未选高校的概率为，丙未选高校的概率为，因为每位同学彼此独立，所以甲同学选高校且乙、丙都未选高校的概率
，
（ⅱ）
因此
，
，
，
，
即分布列为
| 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
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因此数学期望为
【题目】为了研究学生的数学核素养与抽象（能力指标
）、推理（能力指标
）、建模（能力指标
）的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标
的值评定学生的数学核心素养；若
，则数学核心素养为一级；若
，则数学核心素养为二级；若
，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果：
学生编号 |
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（1）在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；
（2）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为
，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为
，记随机变量
，求随机变量
的分布列及其数学期望.
