题目内容
【题目】当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进。目前，国家教育主管部门正在研制的《新时代全面加强和改进学校体育美育工作意见》，以及将出台的加强劳动教育指导意见和劳动教育指导大纲，无疑将对体美劳教育提出刚性要求。为激发学生加强体育活动，保证学生健康成长，某校开展了校级排球比赛，现有甲乙两人进行比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满8局时停止。设甲在每局中获胜的概率为
，且各局胜负相互独立。已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为
.
（1）求
的值；
（2）设
表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望
.
【答案】(1) 
(2)见解析
【解析】
（1）先根据题意确定第二局比赛结束时比赛停止对应胜负情况，再根据概率列方程解得结果，（2）先确定随机变量取法，再分别求对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式得期望.
解：（1）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束．
所以有
．解得或
（舍）．
（2）依题意知，依题意知，
的所有可能值为2，4，6，8．
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为
．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．
从而有
，
，
，
．
所以随机变量的分布列为：
| 2 | 4 | 6 | 8 |
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|
|
则
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