题目内容
【题目】如图,四边形是矩形,沿对角线
将
折起,使得点
在平面
上的射影恰好落在边
上.
(1)求证:平面平面
;
(2)当时,求二面角
的余弦值.
【答案】(I)见解析;(II).
【解析】试题分析:(1)先证明. 结合
,得
平面
,又
平面
,
所以平面平面
.
(2)以点为原点,线段
所在的直线为
轴,线段
所在的直线为
轴,建立空间直角坐标系,用向量法求解即可.
试题解析:(1)设点在平面
上的射影为点
,连接
则平面
,所以
.
因为四边形是矩形,所以
,所以
平面
,
所以.
又,所以
平面
,而
平面
,
所以平面平面
.
(2)方法1:在矩形中,过点
作
的垂线,垂足为
,连结
.
因为平面
,又DM∩DE=D
所以平面
,
所以为二面角
的平面角.
设,则
.
在中,易求出
,
.
在中,
,
所以.
方法2:以点为原点,线段
所在的直线为
轴,线段
所在的直线为
轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
设,则
,所以
,
.
由(I)知,又
,所以
°,
°,那么
,
,
,
所以,所以
,
.
设平面的一个法向量为
,则
即
取,则
,
,所以
.
因为平面的一个法向量为
,
所以.
所以求二面角的余弦值为
.