Question

18．抛掷一枚质地不均匀的骰子，出现向上点数为1，2，3，4，5，6的概率依次记为p₁，p₂，p₃，p₄，p₅，p₆，经统计发现，数列{p_n}恰好构成等差数列，且p₄是p₁的3倍．
（Ⅰ）求数列{p_n}的通项公式；
（Ⅱ）甲、乙两人用这枚骰子玩游戏，并规定：掷一次骰子后，若向上点数为奇数，则甲获胜，否者乙获胜，请问这样的规则对甲、乙二人是否公平，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设数列{p_n}的公差为d，由p₄是p₁的3倍及概率的性质，求得，可得数列{p_n}的通项公式．
（Ⅱ）分别求得甲获胜的概率和乙获胜的概率，根据这2个概率不相等，可得游戏不公平．

解答 解：（Ⅰ）设数列{p_n}的公差为d，由p₄是p₁的3倍及概率的性质，有$\left\{\begin{array}{l}{{p}_{1}+3d={3p}_{1}}\\{{6p}_{1}+\frac{6×5}{2}d=1}\end{array}\right.$，
解得 ${p_1}=\frac{1}{16}，d=\frac{1}{24}$，故 ${p_n}=\frac{2n+1}{48}，1≤n≤6，n∈{N^*}$．   
（Ⅱ）不公平，甲获胜的概率${P_甲}={p_1}+{p_2}+{p_3}=\frac{3+7+11}{48}=\frac{7}{16}$，
乙获胜的概率为P_乙=P₂+P₄+P₆=$\frac{5+9+13}{48}$=$\frac{9}{16}$，
可得甲获胜的概率大于乙获胜的概率，故游戏不公平．

点评 本题主要考查等差数列的定义和性质，概率的性质，游戏的公平性的判断，属于基础题．