Question

已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，左、右焦点分别为F₁、F₂，点P(2，)，点F₂在线段PF₁的中垂线上．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M、N两点，直线F₂M与F₂N的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π，试问直线l是否过定点？若过，求该定点的坐标．

Answer 1

(1)由椭圆C的离心率e＝，得＝，其中c＝，
椭圆C的左、右焦点分别为F₁(－c,0)、F₂(c,0)．
又点F₂在线段PF₁的中垂线上，
∴|F₁F₂|＝|PF₂|，∴(2c)²＝()²＋(2－c)²，
解得c＝1，∴a²＝2，b²＝1，∴椭圆的方程为＋y²＝1.
(2)由题意直线MN的方程为y＝kx＋m，
由消去y得(2k²＋1)x²＋4kmx＋2m²－2＝0.
设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，
则x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝，且kF₂M＝，kF₂N＝，
由已知α＋β＝π得
即＋＝0.
化简，得2kx₁x₂＋(m－k)(x₁＋x₂)－2m＝0，
∴2k·－－2m＝0，整理得m＝－2k.
∴直线MN的方程为y＝k(x－2)，
因此直线MN过定点，该定点的坐标为(2,0)．

略