题目内容

2.已知点A、B是抛物线x2=4y上任意两点,过点A,B分别作抛物线的切线,两切线交于点M(t,-2),(t≠0).
(1)求证:切线MA与MB的斜率之积为定值.
(2)设直线AB的中垂线交x轴于点P,交y轴于点Q,当1≤t≤2$\sqrt{2}$时,求$\frac{|PQ|}{|AB|}$的取值范围.

分析 (1)求得函数y=$\frac{1}{4}$x2的导数,可得切线MA,MB的斜率,可得切线的方程,代入M的坐标,可得x1,x2为方程x2-2tx-8=0,运用韦达定理,可得切线的斜率为定值;
(2)求出切点弦方程和中垂线方程,可得PQ的长,由弦长公式可得AB的长,注意用t表示,求得$\frac{|PQ|}{|AB|}$的解析式,由t的范围,即可得到所求范围.

解答 解:(1)证明:y=$\frac{1}{4}$x2的导数为y′=$\frac{1}{2}$x,
设切点A(x1,$\frac{1}{4}$x12),B(x2,$\frac{1}{4}$x22),
即有切线MA:y-$\frac{1}{4}$x12=$\frac{1}{2}$x1(x-x1),
化为y=$\frac{1}{2}$x1x-$\frac{1}{4}$x12
同理可得切线MB:y=$\frac{1}{2}$x2x-$\frac{1}{4}$x22
又它们都过点M(t,-2),
可得-2=$\frac{1}{2}$x1t-$\frac{1}{4}$x12,及-2=$\frac{1}{2}$x2t-$\frac{1}{4}$x22
即有x1,x2为方程x2-2tx-8=0,
则x1+x2=2t,x1x2=-8,
即有切线MA与MB的斜率之积为$\frac{1}{4}$x1x2=-2即为定值;
(2)由(1)弦AB的方程为xt-2y+4=0,
中点为(t,$\frac{4+{t}^{2}}{2}$),中垂线的斜率为-$\frac{2}{t}$,
方程即有y-$\frac{4+{t}^{2}}{2}$=-$\frac{2}{t}$(x-t),
可得P($\frac{t(8+{t}^{2})}{4}$,0)Q(0,$\frac{8+{t}^{2}}{2}$),
可得|PQ|=$\frac{({t}^{2}+8)\sqrt{4+{t}^{2}}}{4}$,
由|AB|=$\sqrt{1+\frac{{t}^{2}}{4}}$•$\sqrt{4{t}^{2}+32}$=$\sqrt{4+{t}^{2}}$•$\sqrt{8+{t}^{2}}$,
则$\frac{|PQ|}{|AB|}$=$\frac{1}{4}$$\sqrt{8{+t}^{2}}$,由1≤t≤2$\sqrt{2}$,
可得t=1取得最小值$\frac{3}{4}$,t=2$\sqrt{2}$时,取得最大值1.
故$\frac{|PQ|}{|AB|}$的取值范围是[$\frac{3}{4}$,1].

点评 本题考查抛物线的方程和性质,考查直线和抛物线的位置关系,直线方程的求法和运用,考查运算化简能力,属于中档题.

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