Question

11．设函数f（x）的定义域为D，如果对于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=c（c为常数），则称函数f（x）在D上均值为c．下列五个函数：①y=x；②y=|x|；③y=x²；④y=$\frac{1}{x}$；⑤y=x+$\frac{1}{x}$．则满足在其定义域上均值为2的所有函数的序号是①．

Answer 1

分析 根据定义分别验证对于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使 f（x₁）+f（x₂）=4成立的函数即可．

解答 解：首先分析题目求对于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使 f（x₁）+f（x₂）=4成立的函数．
①y=x，f（x₁）+f（x₂）=4得 x₁+x₂=4，解得x₂=4-x₁，满足唯一性，故成立．
②y=|x|，由 f（x₁）+f（x₂）=4得|x₁|+|x₂|=4，此时x₂=±（4-|x₁|），当|x₁|＜4时，x₂有两个值，不满足唯一性，故不满足条件．
③y=x²，由 f（x₁）+f（x₂）=4得 x₁²+x₂²=4，此时x₂=±$\sqrt{4-{{x}_{1}}^{2}}$，当x₁²＜4时，x₂有两个值，不满足唯一性，故不满足条件．
④y=$\frac{1}{x}$，由 f（x₁）+f（x₂）=4得 $\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=4，此时x₂=$\frac{{x}_{1}}{4{x}_{1}-1}$，当x₁=$\frac{1}{4}$时，$\frac{{x}_{1}}{4{x}_{1}-1}$无意义，即不存在对应的x₂值，不满足存在性，故不满足条件．
⑤y=x+$\frac{1}{x}$，由 f（x₁）+f（x₂）=4得x₁+x₂+$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=4，解得x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$=4-（x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$），当（x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$）∈（2，6）时，不存在对应的x₂值，不满足存在性，故不满足条件．
故答案为：①．

点评 本题主要考查新定义的应用，考查学生的推理和判断能力．综合性较强．