Question

17．已知幂函数f（x）=x²，若x₁≥x₂≥x₃，x₁+x₂+x₃=1，f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）=1，则x₁+x₂的取值范围是[$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$]．

Answer 1

分析 根据题意，用x₃、表示x₁、x₂，求出x₃的取值范围，即可求出x₁+x₂的取值范围．

解答 解：根据题意得，x₁+x₂=1-x₃①，
$x_1^2+x_2^2+x_3^2=1$②，
①式两边平方减去②式，
整理得：${x_1}{x_2}=x_3^2-{x_3}$③；
由①、③知x₁，x₂是方程
${x^2}+（{x_3}-1）x+（x_3^2-{x_3}）=0$的两实数根，
∴△=${{（x}_{3}-1）}^{2}$-4（${{x}_{3}}^{2}$-x₃）≥0，
即-3${{x}_{3}}^{2}$+2x₃+1≥0，
解得-$\frac{1}{3}$≤x₃≤1；
又x₁≥x₂≥x₃，x₁+x₂+x₃=1，
∴x₃+x₃+x₃≤1，
∴x₃≤$\frac{1}{3}$；
∴-$\frac{1}{3}$≤x₃≤$\frac{1}{3}$，
∴-$\frac{1}{3}$≤1-（x₁+x₂）≤$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{2}{3}$≤x₁+x₂≤$\frac{4}{3}$；
即x₁+x₂的取值范围是[$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$]．
故答案为：[$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$]．

点评 本题考查了函数的性质与应用的问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是基础题目．