Question

【题目】已知函数f(x)＝2ex＋3x2－2x＋1＋b，x∈R的图象在x＝0处的切线方程为y＝ax＋2.

(1)求函数f(x)的单调区间与极值；

(2)若存在实数x，使得f(x)－2x2－3x－2－2k≤0成立，求整数k的最小值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）0

【解析】试题分析：(1)先利用导数的几何意义求出的值，再利用导数的符号变化得到函数的单调区间和极值；(2)分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再构造函数，利用导数求其最值即可.

试题解析：(1)f′(x)＝2ex＋6x－2，因为f′(0)＝a，所以a＝0，易得切点(0，2)，所以b＝－1.

易知函数f′(x)在R上单调递增，且f′(0)＝0.则当x<0时，f′(x)＜0；当x＞0时，f′(x)＞0.

所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)；单调递增区间为(0，＋∞)．

所以函数f(x)在x＝0处取得极小值f(0)＝2.

(2)f(x)－2x2－3x－2－2k≤0ex＋x2－x－1－k≤0k≥ex＋x2－x－1，　(*)

令h(x)＝ex＋x2－x－1，

若存在实数x，使得不等式(*)成立，则k≥h(x)min，

h′(x)＝ex＋x－，易知h′(x)在R上单调递增，

又h′(0)＝－<0，h′(1)＝e－>0，h′＝e－2<0，h′＝e－>2.56－＝1.6－＝－>2－＝>0，所以存在唯一的x0∈，使得h′(x0)＝0，

且当x∈(－∞，x0)时，h′(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，h′(x)>0.

所以h(x)在(－∞，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，

h(x)min＝h(x0)＝ex0＋x20－x0－1，又h′(x0)＝0，即ex0＋x0－＝0，所以ex0＝－x0.

因为x0∈，所以h(x0)∈，则k≥h(x0)，又k∈Z.所以k的最小值为0.