题目内容
【题目】如图,在三棱锥A-BCD中,AB=a,AC=AD=b,BC=CD=DB=c(a>0,b>0,c>0)该三棱锥的截面EFGH平行于AB、CD,分别交AD、AC、BC、BD于E、F、G、H.
(1)证明:AB⊥CD;
(2)求截面四边形EFGH面积的最大值,并说明面积取最大值时截面的位置.
【答案】(1)详见解析(2)截面为中截面时,截面四边形EFGH面积的最大为,
【解析】
(1)要证AB⊥CD,需证CD⊥平面ABI,需证AI⊥CD,BI⊥CD,由已知可证;
(2)先证EFGH是矩形,再表示出SEFGH=k(1﹣k)ac=﹣ac(k)2,可求最值.
(1)取CD中点I,连结AI、BI,
∵AC=AD,∴AI⊥CD,
∵BC=BD,∴BI⊥CD,
又AI∩BI=I,∴CD⊥平面ABI,
又ABABI,∴AB⊥CD;
(2)∵AB∥平面EFGH,AB平面ABC,
平面EFGH∩平面ABC=FG,∴AB∥FG,
同理可证AB∥EH,∴FG∥EH,
同理可证EF∥HG,
∴EFGH是平行四边形,
由(1)AB⊥CD知EF⊥EH,
∴EFGH是矩形,
设GF=ka,则GH=(1﹣k)c,
SEFGH=k(1﹣k)ac=﹣ac(k)2,
当k时,截面四边形EFGH面积的最大为,
此时,截面为中截面.
【题目】在对人们的休闲方式的一次调查中,用简单随机抽样方法调查了125人,其中女性70人,男性55人.女性中有40人主要的休闲方式是看电视,另外30人主要的休闲方式是运动;男性中有20人主要的休闲方式是看电视,另外35人主要的休闲方式是运动.
(1)根据以上数据建立一个列联表;
(2)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下,认为性别与休闲方式有关系?
(3)在休闲方式为看电视的人中按分层抽样方法抽取6人参加某机构组织的健康讲座,讲座结束后再从这6人中抽取2人作反馈交流,求参加交流的恰好为2位女性的概率.
附:
P( ) | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
k | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
休闲方式 性别 | 看电视 | 运动 | 合计 |
女 | |||
男 | |||
合计 |