题目内容

【题目】如图,在三棱锥A-BCD中,AB=aAC=AD=bBC=CD=DB=ca>0,b>0,c>0)该三棱锥的截面EFGH平行于ABCD,分别交ADACBCBDEFGH

(1)证明:ABCD

(2)求截面四边形EFGH面积的最大值,并说明面积取最大值时截面的位置.

【答案】(1)详见解析(2)截面为中截面时截面四边形EFGH面积的最大为

【解析】

(1)要证ABCD需证CD⊥平面ABI需证AICDBICD,由已知可证;

(2)先证EFGH是矩形,再表示出SEFGHk(1﹣kac=﹣ack2,可求最值.

(1)取CD中点I,连结AIBI

ACAD,∴AICD

BCBD,∴BICD

AIBII,∴CD⊥平面ABI

ABABI,∴ABCD

(2)∵AB∥平面EFGHAB平面ABC

平面EFGH∩平面ABCFG,∴ABFG

同理可证ABEH,∴FGEH

同理可证EFHG

EFGH是平行四边形,

由(1)ABCDEFEH

EFGH是矩形,

GFka,则GH=(1﹣kc

SEFGHk(1﹣kac=﹣ack2

k时,截面四边形EFGH面积的最大为

此时,截面为中截面.

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