题目内容
【题目】我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵；将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称之为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑[biē nào]．某学校科学小组为了节约材料，拟依托校园内垂直的两面墙和地面搭建一个堑堵形的封闭的实验室
,
是边长为2的正方形．
（1）若
，
在
上，四面体
是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角：若不是，请说明理由；
（2）当阳马
的体积最大时，求点
到平面
的距离．
【答案】（1）是；四个直角分别为
、
、
、
；（2）
【解析】
（1）由题意可知，
，
，
都是直角三角形，再证明
面
，得到
，可得
直角三角形，可以得到四面体
是为鳖臑，再写出四个直角即可；
（2）由
和
，求出
，此时
，即此时阳马
的体积最大，然后利用等体积法求出点
到平面
的距离即可.
（1）如图，连接
和
，
由题意可知，，都是直角三角形，
面
，
在平面内，∴
，
又∵
，且
，∴面
又
在面内，故，
∴直角三角形．
∴四面体四个面都是直角三角形，故四面体是鳖臑．
在中，是直角，
在中，是直角，
在中，是直角，
在中，是直角.
（2）在
中，
由，得
，（取得等号）
由题意可知，
面
∴阳马的体积：
，（取得等号）
所以以
为顶点，以
底面的三棱锥
体积最大值为：
在
中，
，
设到面
距离为
，则以为顶点，以
底面时，三棱锥
体积：
，即
，
解得：
，
即点到面距离为.
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