Question

10．已知函数f（x）=lnx-x+1．
（1）求函数f（x）的图象在点x=2处的切线方程；
（2）设g（x）=$\frac{{x}^{2}+2kx+k}{x}$（k＞0），对?x₁∈（0，+∞），?x₂∈（-∞，0），使得f（x₁）≤g（x₂）成立，求k的取值范围；
（3）设b_n=$\frac{f（n+1）+n}{{n}^{3}}$，证明：$\sum_{i=2}^{n}$b_i＜1（n≥2，n∈N⁺）．

Answer 1

分析 （1）求导数，确定切线的斜率，即可求函数f（x）的图象在点x=2处的切线方程；
（2）对?x₁∈（0，+∞），?x₂∈（-∞，0）使得f （x₁）≤g（x₂）成立，只须f （x）_max≤g（x）_max．
（3）证明n≥2，ln（n+1）＜n，可得$\frac{ln（n+1）}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，即可证明结论．

解答 解：（1）函数的定义域为（0，+∞）．
由已知得：f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，f′（2）=-$\frac{1}{2}$，
∵f（2）=ln2-1，
∴函数f（x）的图象在点x=2处的切线方程是y-ln2+1=-$\frac{1}{2}$（x-2），即$\frac{1}{2}$x+y-ln2=0；
（2）当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f （x）为增函数，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f （x）为减函数，
即f （x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．  
∴x₁∈（0，+∞），f （x₁）≤f （1）=0，即f （x₁）的最大值为0，
由题意知：对?x₁∈（0，+∞），?x₂∈（-∞，0）使得f （x₁）≤g（x₂）成立，
只须f （x）_max≤g（x）_max．
∵g（x）=$\frac{{x}^{2}+2kx+k}{x}$=x+$\frac{k}{x}$+2k=-（-x+$\frac{k}{-x}$）+2k≤-2$\sqrt{k}$+2k，∴只须-2$\sqrt{k}$+2k≥0，解得k≥1．
故k的取值范围[1，+∞）．
（3）b_n=$\frac{f（n+1）+n}{{n}^{3}}$=$\frac{ln（n+1）}{{n}^{3}}$．
f （x）=lnx-x+1≤f（1）=0，即lnx≤x-1，
∴n≥2时，ln（n+1）＜n，
∴$\frac{ln（n+1）}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$．
∴n≥2时，$\sum_{i=2}^{n}$b_i＜1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$=1-$\frac{1}{n}$＜1

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的最大值，考查不等式的证明，知识综合性强．