Question

15．已知点A（0，-1），直线l：y=kx+2与圆C：x²+y²=1交于不同两点P，Q．
（1）求l的倾斜角的取值范围；
（2）求△APQ的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用圆心到直线的距离小于半径，建立不等式，即可求l的倾斜角的取值范围；
（2）求出△APQ的面积，换元，利用基本不等式求△APQ的面积的最大值．

解答 解：（1）∵直线l：y=kx+2与圆C：x²+y²=1交于不同两点P，Q，
∴$\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜1，
∴k＜-1或k＞1，
∴l的倾斜角的取值范围是（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）∪（$\frac{3π}{4}$，π）；
（2）直线l：y=kx+2与圆C：x²+y²=1联立可得（1+k²）x²+4kx+3=0，△＞0，可得k＜-$\sqrt{3}$或k＞$\sqrt{3}$
∴|PQ|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{-4k}{1+{k}^{2}}）^{2}-4•\frac{3}{1+{k}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{{k}^{2}-3}}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
A到直线的距离d=$\frac{3}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴△APQ的面积S=$\frac{1}{2}$•$\frac{2\sqrt{{k}^{2}-3}}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\frac{3}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{3\sqrt{{k}^{2}-3}}{{k}^{2}+1}$
设$\sqrt{{k}^{2}-3}$=t（t＞0），S=$\frac{3t}{{t}^{2}+4}$=$\frac{3}{t+\frac{4}{t}}$≤$\frac{3}{4}$（t=2时取等号）
∴△APQ的面积的最大值为$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．