Question

11．如图，过圆外一点P分别作⊙O的两条切线PA，PB和一条割线PDC，记PA的中点为M，连接CM与AB交于点E．求证：DE∥PA．

Answer 1

分析 利用三角形相似的性质，结合梅涅劳斯定理$\frac{AM}{MP}•\frac{PC}{CF}•\frac{FE}{EA}$=1，证明$\frac{FE}{EA}=\frac{CF}{PC}=\frac{DF}{PD}$，即可证明DE∥AP．

解答 证明：设AB，CD的交点为F，连接BC，AD，AC
则由切割线定理知△PBD∽△PCB，△PAD∽△PCA
即有$\frac{PB}{PC}=\frac{PD}{DB}=\frac{BD}{BC}$，$\frac{PA}{PC}=\frac{PD}{PA}=\frac{AD}{AC}$，
又PA=PB
∴$\frac{P{B}^{2}}{P{C}^{2}}$=$\frac{BD}{BC}$•$\frac{AD}{AC}$=$\frac{BD}{BC}$•$\frac{AD}{BC}$=$\frac{DF}{AF}$•$\frac{DF}{BF}$=$\frac{D{F}^{2}}{DF•CF}$=$\frac{DF}{CF}$
而PB²=PD•PC，∴$\frac{PD}{PC}$=$\frac{DF}{CF}$
∴$\frac{DF}{PD}$=$\frac{CF}{PC}$
又C，E，M为△APF的割线，M为AP中点
∴由梅涅劳斯定理$\frac{AM}{MP}•\frac{PC}{CF}•\frac{FE}{EA}$=1
可得$\frac{FE}{EA}=\frac{CF}{PC}=\frac{DF}{PD}$，∴DE∥AP

点评 本题考查三角形相似的性质、梅涅劳斯定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．