Question

【题目】已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点x=0处的切线为l：4x+y﹣5=0，若x=﹣2时，y=f（x）有极值．
（1）求a，b，c的值；
（2）求y=f（x）在[﹣3，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx+c，
得：f′（x）=3x2+2ax+b，
当x=0时，切线l的斜率为﹣4，可得b=﹣4①，
当x=﹣2时，y=f（x）有极值，得f′（﹣2）=0，
∴12﹣4a+b=0②，
由①②得：a=2，b=﹣4，
由于切点的横坐标为x=0，
∴f（0）=5，∴c=5，
∴a=2，b=﹣4，c=5．
（2）由（1）得f（x）=x3+2x2﹣4x+5，
∴f′（x）=3x2+4x﹣4，
令f′（x）=0，解得：x=﹣2或x=，
当x变化时，y′，y的值及变化如下表：

x	﹣3	（﹣3，﹣2）	﹣2	（﹣2，）		（，1）	1
y′		+	0	﹣	0	+
y	8	递增	13	递减		递增	4

∴y=f（x）在[﹣3，1]上的最大值为13，最小值为．
【解析】（1）先求出函数的导数，得到关于a，b，c的不等式组，解出即可；
（2）先求出函数的表达式，求出函数f（x）的导数，从而求出函数的单调区间，函数的最值．
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．