Question

【题目】正三棱锥P﹣ABC中，CM=2PM，CN=2NB，对于以下结论：
①二面角B﹣PA﹣C大小的取值范围是（ ， π）；
②若MN⊥AM，则PC与平面PAB所成角的大小为；
③过点M与异面直线PA和BC都成的直线有3条；
④若二面角B﹣PA﹣C大小为 ， 则过点N与平面PAC和平面PAB都成的直线有3条．
正确的序号是

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：①设底面正三角形的边长为1，过B作BD⊥PA，连结CD，则∠BDC是二面角B﹣PA﹣C大小，因为底面三角形ABC是正三角形，所以∠CAB= ， 所以当点P无限靠近点O时，即高无限小时，∠BDC接近 ， 所以二面角B﹣PA﹣C大小的取值范围是（ ， π），所以①正确．
②因为CM=2PM，CN=2NB，所以MN∥PB．若MN⊥AM，则PB⊥AM，因为P﹣ABC是正三棱锥，所以P在底面的射影是底面的中心，所以PB⊥AC，因为AM∩AC=A，所以PB⊥面PAC，因为P﹣ABC是正三棱锥，所以必有PC⊥面PAB，所以PC与平面PAB所成角的大小为 ， 所以②正确．
③因为因为P﹣ABC是正三棱锥，所以P在底面的射影是底面的中心，所以PA⊥BC．所以过点M与异面直线PA和BC都成的直线有两条，所以③错误．
④若二面角B﹣PA﹣C大小为 ， 则∠BDC= ， 此时∠EDC= ， （其中E是BC的中点）， ， 所以此时直线BC与平面PAC和平面PAB都成 ， 又因为平面PAC和平面PAB的法向量的夹角为 ， 此时适当调整过N的直线，可以得到两条直线使得过点N与平面PAC和平面PAB都成 ， 所以满足过点N与平面PAC和平面PAB都成的直线有3条． 所以④正确．
故答案为：①②④．

①利用二面角的大小区判断．②利用线面角的定义去判断．③利用异面直线的概念去判断．④利用二面角的大小进行判断．