题目内容
13.对于任意的x1,x2∈R,若函数f(x)=2x,试比较 $\frac{f({x}_{1})+f({x}_{2})}{2}$与f($\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$)的大小关系.分析 根据基本不等式的性质,以及指数的去处法则即可得到结论
解答 解:∵函数f(x)=2x,
∴$\frac{f({x}_{1})+f({x}_{2})}{2}$=$\frac{{2}^{{x}_{1}}+{2}^{{x}_{2}}}{2}$≥$\sqrt{{2}^{{x}_{1}}•{2}^{{x}_{2}}}$=${2}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$=f($\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$),
即$\frac{f({x}_{1})+f({x}_{2})}{2}$≥f($\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$),当且仅当x1=x2时取等号.
点评 本题主要考查函数值大小比较,利用基本不等式的性质以及指数的运算性质是解决本题的关键.
练习册系列答案
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3.若函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{x+{3}^{x}(x≤0)}\\{\frac{1}{3}{x}^{3}-4x+a(x>0)}\end{array}\right.$在定义域上只有一个零点,则实数a的取值范围是( )
A. | a>$\frac{16}{3}$ | B. | a<$\frac{16}{3}$ | C. | a≥$\frac{16}{3}$ | D. | a≤$\frac{16}{3}$ |