题目内容
3.若函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{x+{3}^{x}(x≤0)}\\{\frac{1}{3}{x}^{3}-4x+a(x>0)}\end{array}\right.$在定义域上只有一个零点,则实数a的取值范围是( )A. | a>$\frac{16}{3}$ | B. | a<$\frac{16}{3}$ | C. | a≥$\frac{16}{3}$ | D. | a≤$\frac{16}{3}$ |
分析 根据函数的单调性画出函数的图象,及题意其定义域R上有且只有一个零点,即可求出a的取值范围.
解答 解:①当x≤0时,f(x)=x+3x.
∵函数y=x与y=3x在x≤0时都单调递增,
∴函数f(x)=x+3x在区间(-∞,0]上也单调递增
又f(-1)=-1+3-1=-1+$\frac{1}{3}$=-$\frac{2}{3}$<0,f(0)=1>0,所以函数f(x)在(-1,0)内有一个零点,如图所示.
②当x>0时,f(x)=$\frac{1}{3}$x3-4x+a.
∴f′(x)=x2-4=(x+2)(x-2).
令f′(x)=0,且x>0,解得x=2.
当0<x<2时,f′(x)<0;当x>2时,f′(x)>0.
∴函数f(x)在区间(0,2)上单调递减;在区间(2,+∞)上单调递增.
∴函数f(x)在x=2时求得极小值,也即在x>0时的最小值.
∵函数f(x)在其定义域R上有且只有一个零点,且由(1)可知在区间(-1,0)内已经有一个零点了,所以在区间(0,+∞)上没有零点,
∴必须满足f(2)>0,即$\frac{{2}^{3}}{3}$-4×2+a>0,解得a>$\frac{16}{3}$.
故a的取值范围是($\frac{16}{3}$,+∞).
故选:A.
点评 利用导数得出函数的单调性并画出图象是解题的关键.
练习册系列答案
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