题目内容
8.若f(x)是定义在R上的函数,对任意的实数x,都有f(x+3)≤f(x)+3和f(x+2)≥f(x)+2,且f(1)=1,f(2013)的值是2013.分析 利用两个不等式,得到f(x+6)≥f(x)+6,且f(x+6)≤f(x)+6,通过两边夹的性质得到得到f(x+6)=f(x)+6利用递推式求出值.
解答 解:∵对任意的实数x,都有f(x+3)≤f(x)+3和f(x+2)≥f(x)+2,f(1)=1,
∴f(x+3)=f(x+1+2)≥f(x+1)+2,
即f(x+1)+2≤f(x+3)≤f(x)+3,
即f(x+1)≤f(x)+1,
∴f(3)≤f(2)+1≤f(1)+2≤3,
又∵f(x+2)≥f(x)+2,
∴f(3)≥f(1)+2≥3,
∴f(3)=3
由f(x+3)≤f(x)+3和f(x+2)≥f(x)+2可得:
f(x+6)≥f(x)+6,
f(x+6)≤f(x)+6,
∴f(x+6)=f(x)+6,
∴f(2013)=335×6+f(3)=2013
故答案为:2013
点评 本题考查通过不等式的性质:两边夹,由不等式得到等式、考查函数递推公式的应用.解题的关键是得到f(x+6)=f(x)+6.
练习册系列答案
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16.已知函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{2x-1,-1<x≤2}\\{{x}^{2}-2,2<x<3}\end{array}\right.$,则不等式f(x)>x的解集为( )
A. | (1,3) | B. | (-∞,1)∪(3,+∞) | C. | {2} | D. | (1,2)∪(2,3) |