题目内容
【题目】已知数列满足
,其中
,
是不为1的常数.
(Ⅰ)证明:若是递增数列,则
不可能是等差数列;
(Ⅱ)证明:若是递减的等比数列,则
中的每一项都大于其后任意
个项的和;
(Ⅲ)若,且
是递增数列,
是递减数列,求数列
的通项公式.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ).
【解析】
试题分析:(Ⅰ)由是递增数列,则
,利用反证法假设数列
是等差数列,得
,解得
或
,可知假设不成立;(Ⅱ)由
是递减数列,得
,因为数列
是等比数列,所以
,得
,则
,公比
,故
,由于
,得
,又
,且
,故
,
即,得证;(Ⅲ)由
是递增数列,得
,则
,由
,得
,所以
,同理,由
是递减数列,得
,故
,所以
,
累加可得.
试题解析:(Ⅰ)因为是递增数列,所以
。
由于,所以
。
假设数列是等差数列,那么
成等差数列。
所以,因而
,解得
或
。
由已知,当
,这与
是递增数列矛盾,故
的值不存在。
所以数列不可能是等差数列。
(Ⅱ)因为是递减数列,所以
。
因为,所以
。
因为数列是等比数列,
所以,得
或
(舍去)。
则,公比
,故
。
设,那么
。
因为,
所以。
因为
而,即
,
所以。
即:数列中的每一项大于其后任意
个项的和。
(Ⅲ)由于是递增数列,所以
,
所以。 ①
因为,所以
。 ②
由①②知,,因此
。 ③
因为是递减数列,同理,
,
故。 ④
由③④可知,。
因此
。
所以数列的通项公式为
。
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时间 | 第4天 | 第32天 | 第60天 | 第90天 |
价格(千元) | 23 | 30 | 22 | 7 |
(1)写出价格关于时间
的函数关系式;(
表示投放市场的第
天);
(2)销售量与时间
的函数关系:
,则该产品投放市场第几天销售额最高?最高为多少千元?