题目内容
【题目】已知函数在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,函数
.
(1)请写出函数与函数
在
的单调区间(只写结论,不证明);
(2)求函数的最值;
(3)讨论方程实根的个数.
【答案】(1)函数的单调递减区间是
,单调递增区间是
,函数
的单调递减区间是
,单调递增区间是
;(2)最小值
,最大值
;(3)当
时,方程实根个数为
,当
时,方程实根个数为
,当
时,方程实根个数为
,当
时,方程实根个数为
,当
时,方程实根个数为
.
【解析】
试题分析:(1)令,通过类比可知
的单调递减区间是
,单调递增区间是
,同理,令
,通过类比可得函数
的单调递减区间是
,单调递增区间是
;(2)化简
,由(1)可知,
与
均在
单调递减,在
上单调递增,由此求得最大值和最小值;(3)对原方程因式分解得
,所以
或
,下面对
进行分类讨论函数的零点的情况.
试题解析:
(1)根据条件,
的单调递减区间是
,单调递增区间是
,
函数的单调递减区间是
,单调递增区间是
;
(2),
由(1)可知,与
均在
单调递减,在
上单调递增,
则有函数在
单调递减,在
上单调递增,所以
,
;
(3)由可得
,所以有
或
,又函数
在
单调递减,在
单调递增,而
,
所以当时,方程无实数根;
当时,有一个实数根;
当,且
即
,方程有两个实数根;
当,方程有三个实数根;
当时,方程有四个实数根,
综上,①当时,方程实根个数为0;
②当时,方程实根个数为1;
③当时,方程实根个数为2;
④当时,方程实根个数为3;
⑤当时,方程实根个数为4.
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