Question

【题目】已知奇函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f′（x），当x＞0时有2f（x）+xf′（x）＞x2 ， 则不等式（x+2014）2f（x+2014）+4f（﹣2）＜0的解集为（ ）
A.（﹣∞，﹣2012）
B.（﹣2016，﹣2012）
C.（﹣∞，﹣2016）
D.（﹣2016，0）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：由2f（x）+xf′（x）＞x2 ， （x＞0）； 得：2xf（x）+x2f′（x）＜x3
即[x2f（x）]′＜x3＜0；
令F（x）=x2f（x）；
则当x＞0时，F'（x）＜0，即F（x）在（0，+∞）上是减函数，
∵f（x）为奇函数，
∴F（x）=x2f（x）为奇函数，
∴F（x）在（﹣∞，0）上是减函数，
∴F（x+2014）=（x+2014）2f（x+2014），F（﹣2）=4f（﹣2）；
即不等式等价为F（x+2014）+F（﹣2）＜0；
即F（x+2014）＜﹣F（﹣2）=F（2），
∴x+2014＜2，∴x＜﹣2012；
∴原不等式的解集是（﹣∞，﹣2012）．
故选：A．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案．