Question

3．（1）已知x＞1，求f（x）=x+$\frac{1}{x-1}$的最小值；
（2）已知0＜x＜$\frac{2}{5}$，求y=2x-5x²的最大值．

Answer 1

分析 （1）将x=x-1+1，由基本不等式，计算即可得到最小值3；
（2）y=2x-5x²=x（2-5x）=$\frac{1}{5}$•5x•（2-5x），运用基本不等式的变形，可得最大值为$\frac{1}{5}$．

解答 解：（1）∵x＞1，∴x-1＞0，
∴f（x）=x+$\frac{1}{x-1}$=x-1+$\frac{1}{x-1}$+1≥2+1=2+1=3．
当且仅当x-1=$\frac{1}{x-1}$，即x=2时，等号成立．
∴f（x）的最小值为3；
（2）y=2x-5x²=x（2-5x）=$\frac{1}{5}$•5x•（2-5x），
∵0＜x＜$\frac{2}{5}$，∴5x＜2，2-5x＞0，
∴5x（2-5x）≤（$\frac{5x+2-5x}{2}$）²=1，
∴y≤$\frac{1}{5}$，当且仅当5x=2-5x，
即x=$\frac{1}{5}$时，y_max=$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意变形和一正二定三等的条件，属于基础题和易错题．