题目内容

【题目】已知函数,对任意的,满足,其中为常数.

(Ⅰ)若,求处的切线方程;

(Ⅱ)已知,求证

(Ⅲ)当存在三个不同的零点时,求的取值范围.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ).

【解析】

(Ⅰ)代入,然后求出函数处的切线方程

(Ⅱ)写出的表达式,令,根据的取值范围,得到的单调性,即可得证

(Ⅲ)对求导,讨论在不同的的取值范围下的单调性,进而讨论其零点的个数,即可求出存在三个不同零点时的取值范围。

(Ⅰ)在中,取,得

,所以.

从而

,

又切点为,所以切线方程为.

(Ⅱ)证明:

所以,时,单调递减,

时,

所以时,

(Ⅲ)

①当时,在(0,+∞)上,递增,

所以,至多有一个零点,不合题意;

②当时,在(0,+∞)上,递减,

所以,也至多有一个零点,不合题意;

③当时,令

解得

此时,上递减,上递增,上递减,

所以,至多有三个零点.

因为上递增,所以.

又因为,所以,使得

所以恰有三个不同的零点:.

综上所述,当存在三个不同的零点时,的取值范围是.

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