题目内容
【题目】已知函数,对任意的
,满足
,其中
为常数.
(Ⅰ)若,求
在
处的切线方程;
(Ⅱ)已知,求证
;
(Ⅲ)当存在三个不同的零点时,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ)
.
【解析】
(Ⅰ)代入,然后求出函数
在
处的切线方程
(Ⅱ)写出的表达式,令
,根据
的取值范围,得到
的单调性,即可得证
(Ⅲ)对求导,讨论在不同的
的取值范围下
的单调性,进而讨论其零点的个数,即可求出存在三个不同零点时
的取值范围。
(Ⅰ)在中,取
,得
,
又,所以
.
从而,
,
,
又切点为,所以切线方程为
.
(Ⅱ)证明:
令,
则
所以,时,
,
单调递减,
故时,
所以时,
(Ⅲ)
①当时,在(0,+∞)上,
,
递增,
所以,至多有一个零点,不合题意;
②当时,在(0,+∞)上,
,
递减,
所以,也至多有一个零点,不合题意;
③当时,令
,
解得
此时,在
上递减,
上递增,
上递减,
所以,至多有三个零点.
因为在
上递增,所以
.
又因为,所以
,使得
又,
所以恰有三个不同的零点:
.
综上所述,当存在三个不同的零点时,
的取值范围是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号.用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介,然后关注该公众号,就能看见自己与好友每日行走的步数,并在同一排行榜上得以体现.现随机选取朋友圈中的50人,记录了他们某一天的走路步数,并将数据整理如下:
步数/步 | 10000以上 | ||||
男生人数/人 | 1 | 2 | 7 | 15 | 5 |
女性人数/人 | 0 | 3 | 7 | 9 | 1 |
规定:人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”,否则为“懈怠性”.
(1)以这50人这一天行走的步数的频率代替1人一天行走的步数发生的概率,记表示随机抽取3人中被系统评为“积极性”的人数,求
和
的数学期望.
(2)为调查评定系统的合理性,拟从这50人中先抽取10人(男性6人,女性4人).其中男性中被系统评定为“积极性”的有4人,“懈怠性”的有2人,从中任意选取3人,记选到“积极性”的人数为;
其中女性中被系统评定为“积极性”和“懈怠性”的各有2人,从中任意选取2人,记选到“积极性”的人数为;求
的概率.