题目内容
【题目】设a>1,函数f(x)=(1+x2)ex﹣a.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)证明f(x)在(﹣∞,+∞)上仅有一个零点;
(3)若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行,(O是坐标原点),证明:m≤ ﹣1.
【答案】
(1)【解答】解: f′(x)=ex(x2+2x+1)=ex(x+1)2,
∴f′(x)≥0,
∴f(x)=(1+x2)ex﹣a在(﹣∞,+∞)上为增函数.
(2)证明:∵f(0)=1﹣a,a>1,
∴1﹣a<0,即f(0)<0,
∵f( )=(1+a)
﹣a=
+a(
﹣1),a>1,
∴ >1,
﹣1>0,即f(
)>0,
且由(1)问知函数在(﹣∞,+∞)上为增函数,
∴f(x)在(﹣∞,+∞)上有且只有一个零点.
(3)证明:f′(x)=ex(x+1)2,
设点P(x0,y0)则f'(x)=ex0(x0+1)2,
∵y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,
∴f′(x0)=0,即:ex0(x0+1)2=0,
∴x0=﹣1,
将x0=﹣1代入y=f(x)得y0= .
∴ ,
∴ ,
要证m≤ ﹣1,即证(m+1)3≤a﹣
,
需要证(m+1)3≤em(m+1)2,
即证m+1≤em,
因此构造函数g(m)=em﹣(m+1),
则g′(m)=em﹣1,由g′(m)=0得m=0.
当m∈(0,+∞)时,g′(m)>0,
当m∈(﹣∞,0)时,g′(m)<0,
∴g(m)的最小值为g(0)=0,
∴g(m)=em﹣(m+1)≥0,
∴em≥m+1,
∴em(m+1)2≥(m+1)3,
即: ,
∴m≤ .
【解析】(1)利用f′(x)≥0即可得它的单调增区间。
(2)利用零点存在定理f(a)f(b),即可找到零点。
(3)利用导数的几何意义,在某一点处对应的切线斜率。且切线与x轴平行,可得p点坐标和.同理可求M点处的切线。构造新的函数g(m),利用导数找到它的最值。
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减才能正确解答此题.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】从某校随机抽取部分男生进行身体素质测试,获得掷实心球的成绩数据,整理得到数据分组及频率分布表,成绩在11.0米(精确到0.1米)以上(含)的男生为“优秀生”.
分组(米) | 频数 | 频率 |
[3.0,5.0) | 0.10 | |
[5.0,7.0) | 0.10 | |
[7.0,9.0) | 0.10 | |
[9.0,11.0) | 0.20 | |
[11.0,13.0) | 0.40 | |
[13.0,15.0) | 10 | |
合计 | 1.00 |
(Ⅰ)求参加测试的男生中“优秀生”的人数;
(Ⅱ)从参加测试男生的成绩中,根据表中分组情况,按分层抽样的方法抽取10名男生的成绩作为一个样本,再从该样本中任选2名男生的成绩,求至少选出1名男生的成绩不低于13.0米的概率;
(Ⅲ)若将这次测试的频率作为概率,从该校全体男生中随机抽取3人,记X表示3人中“优秀生”的人数,求X的分布列及数学期望.