题目内容
【题目】如图所示,等腰梯形ABCD的底角 A等于60°,直角梯形 ADEF所在的平面垂直于平面ABCD,∠EDA=90°,且ED=AD=2AB=2AF.
(1)证明:平面ABE⊥平面EBD;
(2)若三棱锥 A﹣BDE的外接球的体积为 ,求三棱锥 A﹣BEF的体积.
【答案】
(1)证明:因为平面ADEF⊥平面ABCD,
平面ADEF∩平面ABCD=AD,ED⊥AD,ED平面ADEF,
∴ED⊥平面ABCD,
∵AB平面ABCD,∴AB⊥ED,
又∵AD=2,AB=1,A=60°,∴AB⊥BD.
又BD∩ED=D,BD,ED平面EBD,
∴AB⊥平面EBD,
又AB平面ABE,所以平面ABE⊥平面EBD.
(2)解:由(1)得AD⊥DE,AB⊥BE,所以三棱锥A﹣BDE的外接球的球心为线段AE的中点.
∴ ,解得 ,
∴ .
【解析】(1)由平面ADEF⊥平面ABCD,ED⊥AD,利用面面垂直的性质定理可得:ED⊥平面ABCD,因此AB⊥ED,又AD=2,AB=1,A=60°,故AB⊥BD,即可证明AB⊥平面EBD,于是平面ABE⊥平面EBD,(2)由(1)得AD⊥DE,AB⊥BE,可得三棱锥A﹣BDE的外接球的球心为线段AE的中点,再利用球的体积计算公式与三棱锥的体积计算公式即可得出.
【考点精析】利用平面与平面垂直的判定对题目进行判断即可得到答案,需要熟知一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
【题目】随着移动互联网的快速发展,基于互联网的共享单车应运而生.某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M的经营状况,对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计,并绘制了相应的折线图.
(Ⅰ)由折线图可以看出,可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系.求y关于x的线性回归方程,并预测M公司2017年4月份的市场占有率;
(Ⅱ)为进一步扩大市场,公司拟再采购一批单车.现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的A、B两款车型可供选择,按规定每辆单车最多使用4年,但由于多种原因(如骑行频率等)会导致车辆报废年限各不相同.考虑到公司运营的经济效益,该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试,得到两款单车使用寿命频数表如下:
报废年限 | 1年 | 2年 | 3年 | 4年 | 总计 |
A | 20 | 35 | 35 | 10 | 100 |
B | 10 | 30 | 40 | 20 | 100 |
经测算,平均每辆单车每年可以带来收入500元.不考虑除采购成本之外的其他成本,假设每辆单车的使用寿命都是整数年,且以频率作为每辆单车使用寿命的概率.如果你是M公司的负责人,以每辆单车产生利润的期望值为决策依据,你会选择采购哪款车型?
参考数据:, , =17.5.
参考公式:
回归直线方程为 其中 = , = ﹣ .