题目内容

如图，已知A、B、C是长轴为4的椭圆上的三点，点A是长轴的右顶点，BC过椭圆中心O，且 $数学公式$ ，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过C关于y轴对称的点D作椭圆的切线DE，则AB与DE有什么位置关系？证明你的结论．

解：（1）A（2，0），
设所求椭圆的方程为： $\text{[math]}$ ，…（2分）
由椭圆的对称性知，
|OC|=|OB|，
由 $\text{[math]}$ ．
∵|BC|=2|AC|，
∴|OC|=|AC|，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴C是坐标为（1，1）．…（4分）
∵C点在椭圆上，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
所求的椭圆方程为 $\text{[math]}$ ．…（8分）
（2）AB与DE是平行关系…（10分）
D（-1，1），
设所求切线方程为y-1=k（x+1），
$\text{[math]}$ …（12分）
上述方程中判别式 $\text{[math]}$
又 $\text{[math]}$ ，
所以AB与DE平行…（14分）
分析：（1）设所求椭圆的方程为： $\text{[math]}$ ，由椭圆的对称性知，|OC|=|OB|，由 $\text{[math]}$ ．|BC|=2|AC|，|OC|=|AC|，知△AOC是等腰直角三角形，由此能够求出椭圆方程．
（2）设所求切线方程为y-1=k（x+1），由 $\text{[math]}$ ，由判别式等于0，能判断AB与DE平行．
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，直线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．易错点是综合性强，难度大，容易出错．