Question

17、如图，已知A、B、C、D分别为过抛物线y²=4x焦点F的直线与该抛物线和圆（x-1）²+y²=1的交点，则|AB|•|CD|=

1

．

Answer 1

分析：先看当直线斜率不存在时，直线方程可得，进而可直接求得A，B，C，D的坐标，则利用两点间的距离公式求得AB，CD则答案可得；当直线斜率存在时，设出直线方程与抛物线方程联立利用韦达定理求得x_ax_b，根据抛物线的焦点F同时是已知圆的圆心，根据抛物线的定义可求得|AB|=|AF|-|BF|=x_a，|CD|=|DF|-|CF|=x_b．最后根据x_ax_b的值求得答案．

解答：解：若直线的斜率不存在，则直线方程为x=1，代入抛物线方程和圆的方程，
可直接得到ABCD四个点的坐标为（1，2）（1，1）（1，-1）（1，-2），
所以AB=1，CD=1，
从而|AB•CD|=1．
若直线的斜率存在，设为k，则直线方程为y=k（x-1），因为直线过抛物线的焦点（1，0）
不妨设A（x_a，y_a），B（x_b，y_b），过AB分别作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义，
|AF|=x_a+1，|DF|=x_b+1，
把直线方程与抛物线方程联立，消去y可得
k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由韦达定理有 x_ax_b=1
而抛物线的焦点F同时是已知圆的圆心，所以|BF|=|CF|=R=1
从而有|AB|=|AF|-|BF|=x_a，|CD|=|DF|-|CF|=x_b．
所以|AB•CD|=x_ax_b=1
故答案为：1

点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的关系．在设直线的方程的时候，一定要对直线的斜率的存在情况进行分类讨论．