Question

如图，已知A、B、C、D四点共圆，延长AD和BC相交于点E，AB=AC．
（1）证明：AB²=AD•AE；
（2）若EG平分∠AEB，且与AB、CD分别相交于点G、F，证明：∠CFG=∠BGF．

Answer 1

分析：（1）连接BD，由AB=AC，知∠ABC=∠ADB，由∠BAD=∠EAB，知△ABD∽△AEB，由此能证明AB²=AD•AE．
（2）由A、B、C、D四点共圆，知∠ABC=∠EDF，由∠DEF=∠BEG，能证明∠CFG=∠BGF．

解答：证明：（1）如图，连接BD，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ADB，
∵∠BAD=∠EAB，
∴△ABD∽△AEB，
∴

AB

AD

=

AE

AB

，
∴AB²=AD•AE．
（2）∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠ABC=∠EDF，
∵EG平分∠AEB，∴∠DEF=∠BEG，
∴∠EGB=∠EFD，
∵∠CFG=∠EFD，∠EGB=∠BGF，
∴∠CFG=∠BGF．

点评：本题考查与圆有关的比例线段的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．