题目内容

如图,已知A、B、C是长轴为4的椭圆上的三点,点A是长轴的右顶点,BC过椭圆中心O,且
AC
BC
=0,|
BC
|=2|
AC
|

(1)求椭圆的标准方程;
(2)若过C关于y轴对称的点D作椭圆的切线DE,则AB与DE有什么位置关系?证明你的结论.
分析:(1)设所求椭圆的方程为:
x2
4
+
y2
b2
=1(0<b<2)
,由椭圆的对称性知,|OC|=|OB|,由
AC
BC
=0,AC⊥BC
.|BC|=2|AC|,|OC|=|AC|,知△AOC是等腰直角三角形,由此能够求出椭圆方程.
(2)设所求切线方程为y-1=k(x+1),由
y=kx+k+1
x2
4
+
3y2
4
=1
,消去x,(1+3k2)x2+6k(k+1)x+3(k+1)2-4=0
,由判别式等于0,能判断AB与DE平行.
解答:解:(1)A(2,0),
设所求椭圆的方程为:
x2
4
+
y2
b2
=1(0<b<2)
,…(2分)
由椭圆的对称性知,
|OC|=|OB|,
AC
BC
=0,AC⊥BC

∵|BC|=2|AC|,
∴|OC|=|AC|,
∴△AOC是等腰直角三角形,
∴C是坐标为(1,1).…(4分)
∵C点在椭圆上,
12
4
+
1
b2
=1

b2=
4
3

所求的椭圆方程为
x2
4
+
3y2
4
=1
.…(8分)
(2)AB与DE是平行关系…(10分)
D(-1,1),
设所求切线方程为y-1=k(x+1),
y=kx+k+1
x2
4
+
3y2
4
=1
,消去x,(1+3k2)x2+6k(k+1)x+3(k+1)2-4=0
…(12分)
上述方程中判别式△=9k2-6k+1=0,k=
1
3

kAB=
1
3

所以AB与DE平行…(14分)
点评:本题主要考查椭圆标准方程,简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,直线的简单性质等基础知识.考查运算求解能力,推理论证能力;考查函数与方程思想,化归与转化思想.易错点是综合性强,难度大,容易出错.
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