题目内容
9．已知z是复数，z+2i，$\frac{z}{2-i}$均为实数，且复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第四象限．（1）求复数z；
（2）试求实数a的取值范围．
分析 （1）设复数z=x+yi，代入z+2i，$\frac{z}{2-i}$化简后根据均为实数，列出关于x，y 的方程组解之；
（2）由（1）得到复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第四象限，化简后根据实部大于0，虚部小于0，列出不等式组解之．
解答 解：（1）设z=x+yi，z+2i=x+（y+2）i，$\frac{z}{2-i}$=$\frac{x+yi}{2-i}=\frac{（x+yi）（2+i）}{（2-i）（2+i）}=\frac{2x-y+（x+2y）i}{5}$，
由z+2i，$\frac{z}{2-i}$均为实数，得到$\left\{\begin{array}{l}{y+2=0}\\{x+2y=0}\end{array}\right.$，解得x=4，y=-2，
所以z=4-2i；
（2）由（1）得到复数（z+ai）2=（4-2i+ai）2=[4+（a-2）i]2=16-（a-2）2+2（a-2）i在复平面上对应的点在第四象限．
所以$\left\{\begin{array}{l}{16-（a-2）^{2}＞0}\\{2（a-2）＜0}\end{array}\right.$解得-2＜a＜2，所以a的取值范围是（-2，2）．
点评 本题考查了复数的运算以及复数的几何意义；属于基础题．
练习册系列答案
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| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | 3 | C． | -$\frac{3}{2}$ | D． | $\frac{3}{2}$ |
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| P（K2＞k0） | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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| A． | $\frac{8}{5}$ | B． | $\frac{5}{3}$ | C． | $\frac{3}{2}$ | D． | 2 |