题目内容
【题目】设函数.
(1)当时,求函数
在点
处的切线方程;
(2)若函数存在两个零点
.
①实数的取值范围;
②证明:.
【答案】(1);(2)①
;②详见解析.
【解析】
(1)求得的导数,可得切线的斜率,由点斜式方程可得切线方程;
(2)①求得的导数,讨论
的符号,求得单调性,结合函数的零点,可得最小值小于
,解不等式可得
的范围;
②由题意可得,作差可得
,运用分析法证明,转化为证明
,设
,可得
,设
,求得导数,判断单调性,即可得证.
(1)函数的导函数为
,
可得在
处切线的斜率为
,
则切线方程为,即
.
(2)
①函数的导函数为
,
若,则
在
上递增,不成立;
当时,
在
时递增,在
时递减,
所以在
处取得极小值,且为最小值
,
由题意可得,解得
.
②依题意可得,
两式相减并化简得,要证
,
即证,
即为,即为
,即为
,
由可得
,设
,
可得,
设,
,
则在
递增,而
,所以
,
所以,
则.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】推进垃圾分类处理,是落实绿色发展理念的必然选择,也是打赢污染防治攻坚战的重要环节.为了解居民对垃圾分类的了解程度,某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试,并将问卷得分绘制频率分布表如下:
得分 | |||||||
男性人数 | 40 | 90 | 120 | 130 | 110 | 60 | 30 |
女性人数 | 20 | 50 | 80 | 110 | 100 | 40 | 20 |
(1)从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试,试估计其得分不低于60分的概率;
(2)将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解“(得分不低于60分)和“不太了解”(得分低于60分)两类,完成列联表,并判断是否有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关?
不太了解 | 比较了解 | |
男性 | ||
女性 |
(3)从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中,按照性别进行分层抽样,共抽取10人,连同名男性调查员一起组成3个环保宜传队.若从这
中随机抽取3人作为队长,且男性队长人数占的期望不小于2.求
的最小值.
附:
临界值表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |