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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为为参数),点是曲线上的一动点,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的方程为 .

(Ⅰ)求线段的中点的轨迹的极坐标方程;

(Ⅱ)求曲线上的点到直线的距离的最大值.

【答案】

【解析】试题分析:(1)由中点坐标公式得到M点坐标为消参得到直角坐标,再化为极坐标方程;(2)写出直线的直角坐标方程,转化为圆心到直线的距离加减半径。

解析:

(Ⅰ)设线段的中点的坐标为

由中点坐标公式得为参数),

消去参数得的轨迹的直角坐标方程为

由互化公式可得点的轨迹的极坐标方程为

(Ⅱ)由直线的极坐标方程为,得

所以直线的直角坐标方程为

曲线的普通方程为,它表示以为圆心,2为半径的圆,

则圆心到直线的距离为,所以直线与圆相离,

故曲线上的点到直线的距离的最大值为

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