Question

4．已知函数$f（x）=\frac{{{x^2}+1}}{bx+c}$是奇函数，且f（1）=2，
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在[1，+∞）上的单调性；
（3）求函数在区间[1，3]上的最大、小值．

Answer 1

分析 （1）利用函数是奇函数，f（1）=2，求出b，c，得到函数的解析式．
（2）函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．利用定义证明即可．
（3）由（2、知函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，直接求解函数的最值即可．

解答 解：（1）由$f（x）=\frac{{{x^2}+1}}{bx+c}$是奇函数，且f（1）=2
易求得b=1，c=0，∴$f（x）=\frac{{{x^2}+1}}{x}=x+\frac{1}{x}$（3分）
（2）函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．      （4分）
证明：取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂
则$f（{x_1}）-f（{x_2}）={x_1}+\frac{1}{x_1}-{x_2}-\frac{1}{x_2}=（{{x_1}-{x_2}}）（{1-\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}}）$（6分）
∵1≤x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，$1-\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}＞0$
∴$（{{x_1}-{x_2}}）（{1-\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}}）＜0$，即f（x₁）＜f（x₂）（8分）
所以函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．   （9分）
（3）由（2、知函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，所以函数f（x）在[1，3]上也是增函数
∴$f{（x）_{max}}=f（3）=3+\frac{1}{3}=\frac{10}{3}，f{（x）_{min}}=f（1）=1+1=2$
故所求函数的最大值为$\frac{10}{3}$，最小值为2．  （12分）

点评 本题考查函数的解析式的求法，函数的单调性的判断，函数的最值的求法，考查计算能力．