Question

13．已知各项为正的等比数列{a_n}中，a₃=8，S_n为前n项和，S₃=14．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）若a₁，a₂分别为等差数列{b_n}的第1项和第2项，求数列{b_n}的通项公式及{b_n}前n项和T_n．
（3）设{c_n}的通项公式为c_n=$\frac{4}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$，求{c_n}的前n项和C_n．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q，由a₃=8，S₃=14．可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{2}=8}\\{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}=14}\end{array}\right.$，解出即可；
（2）a₁=2，a₂=4．可得：公差d=2．利用前n项和公式即可得出：T_n；
（3）由（2）可得：a_n=2n．可得：c_n=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，∵a₃=8，S₃=14．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{2}=8}\\{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}=14}\end{array}\right.$，
解得q=2，a₁=2，
∴a_n=2ⁿ；
（2）a₁=2，a₂=4．
∴公差d=2．
∴T_n=2n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²+n；
（3）由（2）可得：a_n=2+2（n-1）=2n．
c_n=$\frac{4}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{4}{2n•（2n+2）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
{c_n}的前n项和C_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．