题目内容

14.已知等差数列{an}中,S3=21,S6=24,求数列{|an|}的前n项和Tn

分析 设公差为d,由S3=21,S6=24,利用等差数列的前n项和公式可得d,a1.分别解出an≥0,an<0.再利用绝对值的意义、等差数列的前n项和公式即可得出.

解答 解:设公差为d,∵S3=21,S6=24,
∴$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d=21}\\{6{a}_{1}+\frac{6×5}{2}d=24}\end{array}\right.$,
解方程组得:d=-2,a1=9.
∴an=9+(n-1)(-2)=-2n+11.
由an≥0,解得$n≤\frac{11}{2}$,即n≤5.
∴当n≤5时,an>0;当n≥6时,an<0.
由数列{an}的前n项和为:Sn=9n+$\frac{n(n-1)}{2}×(-2)$=-n2+10n.
∴当n≤5时,Tn=Sn=-n2+10n.
当n≥6时,Tn=a1+a2+…+a5-a6-…-an
=2S5-Sn
=n2-10n+50.
即Sn=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+10n,n≤5}\\{{n}^{2}-10n+50,n≥6}\end{array}\right.$(n∈N*).

点评 本题考查了绝对值数列求和问题、等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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