题目内容

12.设n为给定的不小于3的正整数,数集P={x|x≤n,x∈N*},记数集P的所有k(1≤k≤n,k∈N*)元子集的所有元素的和为Pk
(1)求P1,P2
(2)求P1+P2+…+Pn

分析 (1)利用等差数列的前n项和公式进行计算即可;
(2)求集合{1,2,…,n}的含连续整数的k元子集的个数时,可以先从n个数中任选两个连续的整数,然后在从剩下的n-2个整数中选取k-2个整数即可.

解答 解:(1)易得数集P={1,2,3,…,n},则P1=1+2+3+…+n=$\frac{n(n+1)}{2}$,
数集P的2元子集中,每个元素均出现n-1次,
故P2=(n-1)(1+2+3+…+n)=$\frac{n(n+1)(n-1)}{2}$;
(2)易得数集P的k(1≤k≤n,k∈N*)元子集中,每个元素均出现${C}_{n-1}^{k-1}$次,
故Pk=${C}_{n-1}^{k-1}$•(1+2+3+…+n)=$\frac{n(n+1)}{2}$${C}_{n-1}^{k-1}$,
则P1+P2+…+Pn=$\frac{n(n+1)}{2}$(${C}_{n-1}^{0}$+${C}_{n-1}^{1}$+${C}_{n-1}^{2}$+…+${C}_{n-1}^{k-1}$)=$\frac{n(n+1)}{2}$•2n-1
=n(n+1)•2n-2

点评 本题主要考查了子集与真子集,属于中档题,解答此题的关键是首先求出集合{1,2,…,n}的k元子集的个数,然后再求出含有连续整数的k元子集的个数.

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