Question

4．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直线A₁C与BD所成的角为（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 以边D₁A₁，D₁C₁，D₁D所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出A₁，C，B，D四点的坐标，从而可以求得$\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{BD}=0$，这便说明直线A₁C和BD所成角为90°．

解答 解：如图，分别以D₁A₁，D₁C₁，D₁D三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为1，则：
A₁（1，0，0），C（0，1，1），D（0，0，1），B（1，1，1）；
∴$\overrightarrow{{A}_{1}C}=（-1，1，1），\overrightarrow{BD}=（-1，-1，0）$；
∴$\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{BD}=0$；
∴$\overrightarrow{{A}_{1}C}⊥\overrightarrow{BD}$；
即A₁C⊥BD；
∴直线A₁C与BD所成角为90°．
故选D．

点评 考查建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成角的方法，能求空间点的坐标，向量垂直的充要条件．