Question

2．如图所示，⊙O为△ABC的外接圆，且AB=AC，过点A的直线交⊙O于D，交BC的延长线于F，DE是BD的延长线，连接CD．
（1）求证：∠EDF=∠CDF；
（2）求证：AB²=AF•AD．

Answer 1

分析 （1）可根据切割线定理先得出关于FD，FA，FC，FB的比例关系，然后得出三角形FDC和FBA相似，因此可得出∠CDF=∠ABC，∠EDF和∠ADB是对顶角，因此只要证得∠ABC=∠ADB相等即可，AB=AC，∠ABC=∠ACB，而∠ACB和∠ADB又对应同一段弧，因此也就相等了，至此便可得出本题的结论；
（2）关键是证△ABD，△ABF相似，已经有一个公共角，根据（1）中证明的过程我们不难得出∠ABC=∠CDF，得到两三角形相似后根据相似三角形的对应边对应比例即可得出所求的结果

解答 证明：（1）根据切割线定理的推论可知：FD•FA=FC•FB
∵∠F=∠F，
∴△FDC∽△FBA，
∴∠CDF=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADB=∠ACB（所对的弧相等）
∴∠ABC=∠ADB=∠EDF，
∴∠EDF=∠CDF；
（2）由（1）知∠ADB=∠ABC．
又∵∠BAD=∠FAB，
∴△ADB∽△ABF，∴$\frac{AB}{AF}$=$\frac{AD}{AB}$，
∴AB²=AF•AD．

点评 本题主要考查了切割线定理，相似三角形的判定和性质等知识点，通过切割线定理求出三角形相似从而得出角相等是解题的关键．