Question

14．已知定义在R上的函数f（x）的图象关于点（-$\frac{3}{4}$，0）成中心对称，对任意实数x都有f（x）=-$\frac{1}{f（x+\frac{3}{2}）}$，且f（-1）=1，f（0）=-2，则f（0）+f（1）+…+f（2015）=0．

Answer 1

分析 先根据条件确定函数的周期，再由函数的图象关于点（-$\frac{3}{4}$，0）成中心对称，从而求出f（1）、f（2）、f（3）的值，最终得到答案．

解答 解：∵f（x）=-$\frac{1}{f（x+\frac{3}{2}）}$，
∴f（x+3）=-$\frac{1}{f（x+\frac{3}{2}）}$=f（x）
∴f（x）是周期为3的周期函数．
∴f（2）=f（-1+3）=f（-1）=1，
又f（-1）=-$\frac{1}{f（\frac{1}{2}）}$，
∴f（$\frac{1}{2}$）=-1，
∵函数f（x）的图象关于点（-$\frac{3}{4}$，0）成中心对称，
∴f（x）=-f（-x-$\frac{3}{2}$），
∴f（1）=-f（-$\frac{5}{2}$）=-f（-$\frac{5}{2}$+3）=-f（$\frac{1}{2}$）=1，
f（1）=f（4）=…=f（2015）=1，由f（-1）=1，
可得出f（2）=f（5）=…=f（2013）=1，由f（0）=-2，
可得出f（3）=f（6）=…=f（2014）=-2
∴f（0）+f（1）+…+f（2015）=0．
故答案为：0．

点评 本题考查的知识点是函数的周期性，其中根据已知中对任意实数x都有f（x）=-$\frac{1}{f（x+\frac{3}{2}）}$，且判断出函数的周期性，是解答本题的关键，属于中档题